GEOMETRÍA ANALÍTICA

PARÁBOLA 

En matemáticas, una parábola es la sección cónica de excentricidad igual a 1,​ resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. También se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz,​ y un punto exterior a ella llamado foco.

              

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad(ver movimiento parabólico y trayectoria balística).

Elementos de una parábola  

• Foco: Es el punto fijo .
• Directriz: Es la recta fija .
• Parámetro: A la distancia entre el foco y la directriz de una parábola se le llama parámetro .
• Eje: La recta perpendicular a la directriz y que pasa por el foco recibe el nombre de eje. 
• Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. del eje con la parábola.
• Radio vector: Es el segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Ecuaciones de la parabola 

Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma ${\displaystyle y=ax^{2}}$ donde el parámetro ${\displaystyle a}$ especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es ${\displaystyle (u,v)}$ tiene la forma ${\displaystyle (y-v)=a(x-u)^{2}}$ ,

Agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,}$.

Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:

La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma ${\displaystyle x=ay^{2}+by+c\,}$.

Ecuación involucrando la distancia focal

Consideremos el caso especial en que el vértice es  y el foco es . La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por . 

A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, de modo que en este caso la distancia focal es igual a . Con esta configuración se tiene:Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa misma distancia del último.

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es ${\displaystyle \,x^{2}=4py}$.

De forma alterna:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es ${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4p}}}$.

Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.

Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,-p) es ${\displaystyle \,x^{2}=-4py}$.

Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x, y:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es ${\displaystyle \,y^{2}=4px}$,

Obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.

Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola vertical hacia arriba se tiene

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h,k + p) es ${\displaystyle \,(x-h)^{2}=4p(y-k)}$,

Mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:.

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h + p,k) es ${\displaystyle \,(y-k)^{2}=4p(x-h)}$.

Ecuación general de una parábola

Hasta ahora se han descrito solo parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x o de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es: ${\displaystyle \,ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0}$ si y solo si ${\displaystyle \,b^{2}-4ac=0}$ y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos.

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma ${\displaystyle ax'^{2}+bx'+c=0}$, donde a es distinto de cero.

Tutoriales de Parábola 


En el siguiente enlace encontraran un vídeo tutorial de como realizar una parábola.

 

Pablo Fuentes Ramos. (2012). parábola . 05/12/2017, de ----- Sitio web: https://expediente.ues.edu.sv/uiu/elementos_estudio/matematica/Jesus%20Infante%20Murillo%20-%20Geometria%20Analitica/5.%20Parabola.pdf